Model
Antrian
Perusahaan
UD ABC mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu orang pekerja yaitu
Ali. Rata-rata tingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi Poisson yaitu
20 kendaraan/jam. Ali dapat melayani rata-rata 25 kendaraan/jam. Ali ingin menghitung berapa menit kah antrian agar
tidak terjadi penumpukan antrian. Jika diasumsikan model sistem antrian yang digunakan
adalah M/M/1, hitunglah:
1.
Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan
2.
Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam system
3.
Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian
4.
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem
(menunggu pelayanan)
5.
Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam
antrian
Diketahui:
λ
= 20, μ = 25
p
= λ / μ = 20/25 = 0.80
Bahwa
Ali akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dari waktunya, sedangkan 20% dari
waktunya (1-p) untuk istirahat
L
= λ / (μ – λ) = 20 / (25-20) = 4, atau
L
= p / (1-p) = 0.80 / (1-0.80) = 4
Angka
4 menunjukkan bahwa Ali dapat mengharapkan 4 kendaraan yang berada dalam system
Lq = λ2 / μ (μ –
λ) = (20)2 / 25(25-20) = 3.2
Jadi kendaraan
yang menunggu untuk dilayani dalam antrian sebanyak 3.2 kendaraan
W = 1 / (μ – λ)
= 1 / (25-20) = 0.2 jam atau 12 menit
Jadi waktu
rata-rata kendaraan menunggu dalam sistem selama 12 menit
Wq = λ / μ (μ – λ)
= 20 / 25(25-20) = 0.16 jam atau 9.6 menit
Jadi, agar
kendaraan tidak terjadi penumpukkan kendaraan waktu rata-rata kendaraan
menunggu dalam antrian selama 9.6 menit
Forecasting/Peramalan
PT. Sejati Sejahtera ingin membuat ramalan penjualan
tahun 2020.adapun data jualan actual selama 4 tahun terakhir sebagai berikut :
|
Tahun
|
Penjualan
|
|
2016
|
4,400
Unit
|
|
2017
|
4,000
Unit
|
|
2018
|
3,800
Unit
|
|
2019
|
3,900
Unit
|
|
∑
|
16,100
Unit
|
Pada Tahun 2020 Perusahaan berencana menjual satu
jenis barang dengan harga jual per unit @ sebesar Rp. 100. Harga jual / unit
tiap triwulan tahun 2020 mendatang diperkirakan naik 10% dari triwulan
dibelakangnya. Perkiraan jualan triwulan I = 30 %, II = 20 % , III = 20 % dan
IV = 30 %.
Berdasarkan data diatas, buatlah ramalan jualan
tahun 2020 dengan metode kuadrat terkecil dan susunlah anggaran jualan tiap
triwulannya.
Jawab :
· Ramalan penjualan menggunakan metode kuadrat
terkecil.
|
n
|
Tahun
|
Penjualan
( Y )
|
X
|
X2
|
XY
|
|
1
|
2016
|
4,400
Unit
|
0
|
0
|
0
|
|
2
|
2017
|
4,000
Unit
|
1
|
1
|
4,000
|
|
3
|
2018
|
3,800
Unit
|
2
|
4
|
7,600
|
|
4
|
2019
|
3,900
Unit
|
3
|
9
|
11,700
|
|
∑
|
16,100 Unit
|
6
|
14
|
23,300
|
n ∑ XY - ∑X ∑Y
Cari b : -----------------------------------
n ∑X2 – ( ∑X )2
b
= ( 4 * 23,300 ) – ( 6 * 16,100) / ( 4 * 14 ) – ( 6 ) 2
= 93,200
– 96,600 / 56 – 36
=
- 3,400 / 20
=
- 170
Cara
Cari a = ∑Y / n - b ∑X
/ n
a =
16,100 / 4 - ( - 170
) 6 /4
=
4025 + 255
=
4280
Jadi
persamaan garis lurus metode kuadrat terkecil : a + bX
Ramalan Penjualan 2020 = 4,280
+ ( - 170* 4 )
= 4,280
– 680
= 3,600
Unit.
· Anggaran Penjualan
Perkiraan Penjualan Triwulan I :
30 % * 3,600 * Rp. 100 = Rp.
108,000
Perkiraan Penjualan Triwulan II :
20 % * 3,600 * Rp.100 = Rp.
72,000
Perkiraan Penjualan Triwulan III :
20% * 3,600 * Rp.100 =
Rp. 72,000
Perkiraan Penjualan Triwulan IV :
30% * 3,600 * Rp. 100 = Rp.
108,000
Jadi, agar terjadi kenaikkan anggaran maka anggaran
penjualan setahun harus sebesar Rp. 360,000/unit
LINEAR PROGRAMMING
Perusahaan
Krisna Furniture yang akan membuat meja dan kursi. Keuntungan yang diperoleh
dari satu unit meja adalah $7,- sedang keuntungan yang diperoleh dari satu unit
kursi adalah $5,-.
Namun untuk
meraih keuntungan tersebut Krisna Furniture menghadapi kendala keterbatasan jam
kerja. Untuk pembuatan 1 unit meja dia memerlukan 4 jam kerja. Untuk pembuatan
1 unit kursi dia membutuhkan 3 jam kerja. Untuk pengecatan 1 unit meja
dibutuhkan 2 jam kerja, dan untuk pengecatan 1 unit kursi dibutuhkan 1 jam
kerja. Jumlah jam kerja yang tersedia untuk pembuatan meja dan kursi adalah 240
jam per minggu sedang jumlah jam kerja untuk pengecatan adalah 100 jam per
minggu. Berapa jumlah meja dan kursi yang sebaiknya diproduksi agar keuntungan
perusahaan maksimum?
Dari kasus di
atas dapat diketahui bahwa tujuan perusahaan adalah memaksimumkan profit.
Sedangkan kendala perusahaan tersebut adalah terbatasnya waktu yang tersedia
untukpembuatan dan pengecatan. Apabila permasalahan tersebut diringkas dalam
satu tabel akan tampak sebagai berikut:
|
Jam kerja untuk membuat 1 unit produk
|
Total
waktu tersedia per minggu
|
||
|
Meja
|
Kursi
|
||
|
Pembuatan
|
4
|
2
|
240
|
|
Pengecatan
|
2
|
1
|
100
|
|
Profit per Unit
|
7
|
5
|
|
Mengingat
produk yang akan dihasilkan adalah meja dan kursi, maka dalam rangka
memaksimumkan profit, perusahaan harus memutuskan berapa jumlah meja dan kursi
yang sebaiknya diproduksi. Dengan demikian dalam kasus ini, yang merupakan
variabel keputusan adalah meja (X1) dan kursi (X2).
1. Fungsi
Tujuan
Profit = ($ 7 x jml meja yang
diproduksi) + ($ 5 x jml kursi yang diproduksi)
Secara matematis dapat ditulis :
Maksimisasi : Z = 7 X1 +
5 X2
2. Fungsi
Kendala
· Kendala
: Waktu pembuatan
1 unit meja memerlukan 4 jam untuk
pembuatan
-> 4 X1
1 unit kursi memerlukan 3 jam untuk
pembuatan
-> 3 X2
Total waktu yang tersedia per minggu
untuk pembuatan ->
240 Jam
Dirumuskan dalam pertidaksamaan
matematis
-> 4 X1 +
3 X2£ 240
· Kendala
: Waktu pengecatan
1 unit meja memerlukan 2 jam untuk
pengecatan
-> 2 X1
1 unit kursi memerlukan 1 jam untuk
pengecatan
-> 1 X2
Total waktu yang tersedia per minggu
untuk pengecatan ->
100 Jam
Dirumuskan dalam pertidaksamaan
matematis ->
2 X1 +
X2 £100
Formulasi masalah secara lengkap :
Fungsi Tujuan : Maks. Z = 7 X1 +
5 X2
Fungsi Kendala
: 4 X1 +
3 X2 £ 240
2 X1 + X2 £ 100
X1 , X2 ³ 0
(kendala non-negatif)
Setelah formulasi lengkapnya dibuat, maka Kasus Krisna Furniture tersebut akan
diselesaikan dengan metode grafik. Keterbatasan metode grafik adalah bahwa
hanya tersedia dua sumbu koordinat, sehingga tidak bisa digunakan untuk
menyelesaikan kasus yang lebih dari dua variabel keputusan.
Langkah pertama
dalam penyelesaian dengan metode grafik adalah menggambarkan fungsi kendalanya.
Untuk menggambarkan kendala pertama secara grafik, kita harus merubah tanda
pertidaksamaan menjadi tanda persamaan seperti berikut.
4 X1 +
3 X2 = 240
Untuk
menggambarkan fungsi linear, maka cari titik potong garis tersebut dengan kedua
sumbu. Suatu garis akan memotong salah satu sumbu apabila nilai variabel yang
lain sama dengan nol. Dengan demikian kendala pertama akan memotong X1,
pada saat X2 = 0, demikian juga kendala ini akan memotong X2,
pada saat X1 = 0.
Kendala I :
4 X1 +
3 X2 = 240
memotong
sumbu X1 pada saat X2 = 0
4 X1 +
0 = 240
X1 =
240 / 4
X1 =
60.
memotong
sumbu X2 pada saat X1 = 0
0 + 3 X2 =
240
X2 =
240/3
X2 =
80
Kendala I
memotong sumbu X1 pada titik (60, 0) dan memotong sumbu X2 pada
titik (0, 80).
Kendala II :
2 X1 +
1 X2 = 100
memotong
sumbu X1 pada saat X2 = 0
2 X1 +
0 = 100
X1 =
100/2
X1 =
50
memotong
sumbu X2 pada saat X1 =0
0 + X2 =
100
X2 =
100
Kendala I
memotong sumbu X1 pada titik (50, 0) dan memotong sumbu X2 pada
titik (0, 100).
Titik potong kedua kendala bisa dicari dengan cara
substitusi atau eliminasi
2 X1 + 1 X2 =
100 ->
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 X2 =
240
X2 = 100 - 2 X1
4 X1 + 3 (100 - 2 X1)
= 240
X2 = 100 - 2 * 30
4 X1 + 300 - 6 X1 =
240
X2 = 100 - 60
- 2 X1 = 240 - 300
X2 = 40
- 2 X1 = - 60
X1 = -60/-2 = 30.
Sehingga kedua kendala akan saling
berpotongan pada titik (30, 40).
Tanda ≤ pada
kedua kendala ditunjukkan pada area sebelah kiri dari garis kendala.Feasible
region (area layak) meliputi daerah sebelah kiri dari titik A (0; 80),
B (30; 40), dan C (60; 0).
Untuk
menentukan solusi yang optimal, ada dua cara yang bisa digunakan yaitu
1. dengan menggunakan garis profit (iso profit line)
2. dengan titik sudut (corner point)
Penyelesaian
dengan menggunakan garis profit adalah penyelesaian dengan menggambarkan fungsi
tujuan. Kemudian fungsi tujuan tersebut digeser ke kanan sampai menyinggung
titik terjauh dari dari titik nol, tetapi masih berada pada area layak
(feasible region). Untuk menggambarkan garis profit, kita mengganti nilai Z
dengan sembarang nilai yang mudah dibagi oleh koefisien pada fungsi profit.
Pada kasus ini angka yang mudah dibagi angka 7 (koefisien X1) dan 5
(koefisien X2) adalah 35. Sehingga fungsi tujuan menjadi 35 = 7 X1 +
5 X2. Garis ini akan memotong sumbu X1 pada titik
(5, 0) dan memotong sumbu X2 pada titik (0, 7).
Iso profit line
menyinggung titik B yang merupakan titik terjauh dari titik nol. Titik B ini
merupakan titik optimal. Untuk mengetahui berapa nilai X1 dan X2,
serta nilai Z pada titik B tersebut, kita mencari titik potong antara kendala I
dan kendala II (karena titik B merupakan perpotongan antara kendala I dan
kendala II). Dengan menggunakan eliminiasi atau subustitusi diperoleh nilai X1 =
30, X2 = 40. dan Z = 410. Dari hasil perhitungan tersebut maka
dapat disimpulkan bahwa keputusan perusahaan yang akan memberikan profit
maksimal adalah memproduksi X1sebanyak 30 unit, X2 sebanyak
40 unit dan perusahaan akan memperoleh profit sebesar 410.
Penyelesaian dengan
menggunakan titik sudut (corner point) artinya kita harus mencari nilai
tertinggi dari titik-titik yang berada pada area layak (feasible region). Dari
peraga 1, dapat dilihat bahwa ada 4 titik yang membatasi area layak, yaitu
titik 0 (0, 0), A (0, 80), B (30, 40), dan C (50, 0).
Keuntungan pada
titik O (0, 0) adalah (7 x 0) + (5 x 0) = 0.
Keuntungan pada
titik A (0; 80) adalah (7 x 0) + (5 x 80) = 400.
Keuntungan pada
titik B (30; 40) adalah (7 x 30) + (5 x 40) = 410.
Keuntungan pada
titik C (50; 0) adalah (7 x 50) + (5 x 0) = 350.
Kesimpulan:
Karena
keuntungan tertinggi jatuh pada titik B, maka sebaiknya perusahaan memproduksi
meja sebanyak 30 unit dan kursi sebanyak 40 unit, dan perusahaan memperoleh
keuntungan optimal sebesar 410.
Referensi:
Tidak ada komentar:
Posting Komentar